Volver a Guía

CURSO RELACIONADO

Análisis Matemático 66

2025 PALACIOS PUEBLA

¿Te está ayudando la guía resuelta?
Sumate a nuestro curso, donde te enseño toda la materia de forma súper simple. 🥰

Ir al curso
ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA PALACIOS PUEBLA

Práctica 5 - Aproximación lineal y derivadas

Anterior Siguiente
1. [Serpentina de Newton] La curva dada por y=4xx2+1y=\frac{4 x}{x^{2}+1} es llamada la serpentina de Newton.
b) Llamemos y=f(x)y=f(x). Halle la pendiente de la recta secante por los puntos (0,0)(0,0) y (h,f(h))(h, f(h)) para h=0,5h=0,5. ¿Qué sucede si lo hace para un hh genérico? ¿Qué pasa con la pendiente de la recta cuando hh tiende a 0 ?

Respuesta

Vamos a hacer lo mismo que en el caso anterior. Ahora estamos buscando la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos (0,0)(0,0) y (h,f(h))(h, f(h)). Si usamos de nuevo la fórmula de la pendiente, nos queda:

m=y2−y1x2−x1= f(h)−0h−0= 4hh2+1h=4h2+1  m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{f(h) - 0}{h - 0} = \frac{\frac{4h}{h^2 + 1}}{h} = \frac{4}{h^2 + 1} 

Por lo tanto, para un hh genérico, la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos (0,0)(0,0) y (h,f(h))(h, f(h)) y va a ser:

m= 4h2+1m = \frac{4}{h^2 + 1}

(en particular si h=0.5h = 0.5 sustituis este valor y vas a obtener que la pendiente es m=3.2m = 3.2)

¿Qué pasa si ahora hacemos tender hh a cero? Es decir, estamos calculando la recta secante entre (0,0)(0,0) y un punto que está muy muy muy muy cerca... tan cerca al (0,0)(0,0) que ahora nuestra recta secante se transformó en recta tangente! 😮

Convencete de esto con GeoGebra. Fijate que yo marqué el punto (h,f(h))(h,f(h)), andá moviendo la barrita cambiando el valor de hh... ves más claro ahora que pasa cuando hh tiende a cero? 👉 https://www.geogebra.org/graphing/xmsk8cca

m=lim⁡h→04h2+1=41=4 m = \lim_{h \to 0} \frac{4}{h^2 + 1} = \frac{4}{1} = 4

Esto que acabamos de obtener es la pendiente de la recta tangente a ff en x=0x=0

Y si la pendiente de la recta tangente a ff en x=0x=0 es 44... sin haber calculado ninguna derivada, ya te das cuenta cuánto va a valer f′(0)f'(0)? 😉
Reportar problema
ExaComunidad
Iniciá sesión o Registrate para dejar tu comentario.