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Análisis Matemático 66
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PALACIOS PUEBLA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA PALACIOS PUEBLA
1.
[Serpentina de Newton] La curva dada por \[y=\frac{4 x}{x^{2}+1}\] es llamada la serpentina de Newton.
b) Llamemos $y=f(x)$. Halle la pendiente de la recta secante por los puntos $(0,0)$ y $(h, f(h))$ para $h=0,5$. ¿Qué sucede si lo hace para un $h$ genérico? ¿Qué pasa con la pendiente de la recta cuando $h$ tiende a 0 ?
b) Llamemos $y=f(x)$. Halle la pendiente de la recta secante por los puntos $(0,0)$ y $(h, f(h))$ para $h=0,5$. ¿Qué sucede si lo hace para un $h$ genérico? ¿Qué pasa con la pendiente de la recta cuando $h$ tiende a 0 ?
Respuesta
Vamos a hacer lo mismo que en el caso anterior. Ahora estamos buscando la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos $(0,0)$ y $(h, f(h))$. Si usamos de nuevo la fórmula de la pendiente, nos queda:
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$ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{f(h) - 0}{h - 0} = \frac{\frac{4h}{h^2 + 1}}{h} = \frac{4}{h^2 + 1} $
Por lo tanto, para un $h$ genérico, la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos $(0,0)$ y $(h, f(h))$ y va a ser:
$m = \frac{4}{h^2 + 1}$
(en particular si $h = 0.5$ sustituis este valor y vas a obtener que la pendiente es $m = 3.2$)
¿Qué pasa si ahora hacemos tender $h$ a cero? Es decir, estamos calculando la recta secante entre $(0,0)$ y un punto que está muy muy muy muy cerca... tan cerca al $(0,0)$ que ahora nuestra recta secante se transformó en recta tangente! 😮
Convencete de esto con GeoGebra. Fijate que yo marqué el punto $(h,f(h))$, andá moviendo la barrita cambiando el valor de $h$... ves más claro ahora que pasa cuando $h$ tiende a cero? 👉 https://www.geogebra.org/graphing/xmsk8cca
$ m = \lim_{h \to 0} \frac{4}{h^2 + 1} = \frac{4}{1} = 4 $
Esto que acabamos de obtener es la pendiente de la recta tangente a $f$ en $x=0$
Y si la pendiente de la recta tangente a $f$ en $x=0$ es $4$... sin haber calculado ninguna derivada, ya te das cuenta cuánto va a valer $f'(0)$? 😉